2018. т. 22. №3

Данный номер журнала представляет серию статей российских авторов по математическому моделированию экономики, посвященных оригинальным подходам к широкому кругу проблем этой науки.

В данной работе рассматривается классическая задача максимизации дисконтированной полезности при условии, что момент следующей покупки и получения кредита – случайный (пуассоновский). Цель исследования – моделирование случайного периода ожидания возможности изменения долга агента для того, чтобы учесть его влияние на потребление. Модель формулируется как задача оптимального стохастического управления. Потребитель в случайные моменты покупает продукт по неслучайной цене и в те же случайные моменты может брать и возвращать бессрочные кредиты. По кредитам агент непрерывно платит проценты. Он непрерывно получает дивиденды в виде внешнего поступления денег на счет и может накапливать беспроцентные безналичные деньги. Условия оптимальности получаются с помощью метода множителей Лагранжа. Достаточные условия оптимальности сводятся к уравнениям в частных производных с переменным и неизвестным запаздыванием. Их удается решить только сочетанием аналитических разложений по малому параметру (обратной величине большой частоты сделок-продаж) и численных расчетов. Особую трудность представляет регуляризация («смягчение») условий дополняющей нежесткости. В результате получены функции, определяющие оптимальное управление процессом покупок потребительского товара и размер кредита. На конечном интервале планирования можно проследить, как меняется потребление по мере приближения конца периода планирования. Во-первых, потребление определяется не запасом денег и долга в отдельности, а их разницей – собственными средствами потребителя. Во-вторых, вдали от горизонта планирования потребление мало и растет по мере приближения конечного момента времени. Такая модель может быть использована как часть описания агента-потребителя в динамических стохастических моделях общего равновесия.

В статье предлагается модель реального сектора российской экономики, основанная на многопродуктовой декомпозиции макроэкономической статистики, дающая возможность, в отличие от большинства стандартных макроэкономических моделей, одновременно и с высокой точностью воспроизводить статистику в текущих и постоянных ценах.

Модельная экономика состоит из набора агентов-торговцев, отвечаю­щих за разложение ВВП и его компонент на ненаблюдаемые продукты, агента-производителя и агента-потребителя. Торговцы описываются при помощи набора CES-функций, аналитическое решение задачи торговца позволяет получить соотношения, используемые для декомпозиции ВВП.

Производитель отличается специфической производственной функцией, учитывающей два вида инвестиций – в поддержание и в наращивание ос­новных фондов, а также оригинальной схемой описания динамики спроса на труд. Помимо этого, в модели производителя описывается формирование запасов, что обычно не делается в стандартных макроэкономических моделях.

Задача агрегированного потребителя позволяет воспроизводить траектории для потребления, занятости и депозитов как примера финансового инструмента, доступного потребителю. Благодаря специальной функции полезности удается получить оптимальную траекторию для занятости, что является преимуществом перед другими макроэкономическими моделями с потребителем. Учет численности экономически активного населения наря­ду с численностью занятых и модификация калибровочного функционала позволяют с достаточно высокой точностью описать поведение потребителя, в том числе и в кризисные периоды.

Модель решается аналитически и калибруется на реальных данных без линеаризации полученных соотношений.

В работе анализируется топология сети межбанковского кредитования (МБК) в агентной модели банковской системы, включающей детальное описание протоколов и стилизованное описание внешней (по отношению к банковской системе) экономики. Показано, что основная причина возникновения рынка МБК в модели – это эффект разрыва ликвидности, возникающий вследствие разницы в срочностях кредитов и депозитов. Иллюстрируется влияние данного эффекта на динамику совокупного капитала и объема наличности в случае возрастающей структуры процентных ставок, являющейся причиной наблюдаемой в реальности разницы срочностей кредитов и депозитов. Проводится сопоставление различных свойств данного графа с аналогичными характеристиками реальных сетей МБК. Показано, что модели банковской системы, в которой банки представлены агентами-автоматами, достаточно для описания широкого спектра топологических характеристик реальных сетей МБК. К таким свойствам относятся: существенный размер гигантской сильно-связной компоненты, наличие тяжелых хвостов распределения по In- и Out-степеням, наличие тяжелого хвоста распределения по объемам размещенных средств, дисассортативность, неравномерность распределения коэффициента кластеризации по вершинам. Кроме того, выделены свойства, для воспроизводства которых требуется более детальное описание поведения агентов. К этим свойствам относятся: отсутствие ориентированных циклов в сетях малой агрегации, малая по сравнению с реальной доля банков, которые не выходят на рынок МБК, а также доля чистых кредиторов, отсутствие тяжелых хвостов распределения по объемам привлеченных средств, низкий коэффициент кластеризации сети. В работе проведен анализ причин отличия перечисленных свойств модельной сети от реальных, а также охарактеризованы изменения, которые необходимо внести в модель для наблюдения в ней перечисленных характеристик.

В статье описана модель банковской системы России, успешно воспроизводящая широкий набор показателей, характеризующих ее деятельность, – кредиты и депозиты фирм и домохозяйств, ликвидность, номинированные в рублях и в иностранной валюте, обязательные резервы. Описана методика вывода соотношений модели, включающая постановку оптимизационной задачи макроагента «банк». В задаче предполагается максимизация приведенного потока прибыли при бюджетном ограничении, балансов отдельных кредитов и депозитов, ограничений ликвидности и требовании достаточности резервов. В статье приводится система уравнений, описывающая решение этой задачи. Подробно описан переход от непрерывного времени к дискретному, новый подход к смягчению условий дополняющей нежесткости, ос­нованный на предположении о наличии в модели магистрального свойства.

Помимо стандартного для моделей такого класса подхода, к оценке параметров модели применен метод многошаговых прогнозов (multi-step fore­casting). Показано, что стандартный метод оценки позволяет достаточно точно воспроизвести исторические ряды, но дает невысокое качество прог­нозов. Метод многошаговых прогнозов, с другой стороны, успешно воспроизводит исторические ряды и дает достаточно точные прогнозы. Проведено сравнение со стандартными эконометрическими конструкциями и показано, что модель с параметрами, полученными методом многошаговых прог­нозов, строит прогнозы несколько лучше, чем ARIMAX и значительно лучше, чем AR, ARIMA, VAR, VARX. Показано также, что при поиске параметров модели методом многошаговых прогнозов оптимальные значения оказываются примерно одинаковыми для разных интервалов оценивания и для разных длин прогноза (от одного до шести месяцев). Такая устойчивость параметров дает нам основания считать, что модель воспроизводит долгосрочные соотношения модельных переменных и может быть использована для прогнозирования и сценарного анализа.

Модель может быть использована для оценки реакции банковской системы на проводимую денежно-кредитную политику, различные внешние ог­раничения и общее состояние экономики, а также как блок более общей модели общего равновесия экономики России.

Большинство расчетов по ДСОЭР-моделям основано на линейной аппроксимации методом возмущений (а редкие работы, использующие аппроксимации более высоких порядков, находят линейную аппроксимацию как первый шаг расчетов). Однако стандартные алгоритмы нахождения численной аппроксимации первого порядка могут быть не точны. Это связано с особенностями реализации алгоритма QZ-разложения, применяющегося при нахождении линейного приближения. Наличие такой проблемы было недавно продемонстрировано рядом авторов на примере ДСОЭР-модели малого масштаба. В данной работе исследуются масштабы таких ошибок для различных ДСОЭР-моделей. Предложена простая мера для оценки соответствующей неточности. Предложенная мера имеет несколько версий: одна основана на функции правдоподобия, и альтернативные – на основе моментов переменных модели. Были проанализированы восемь разнообразных ДСОЭР-моделей: как малого масштаба, так и средне-крупного масштаба; как с общепринятыми особенностями структуры модели, так и с нестандартными формулировками задач агентов; как фокусирующиеся на нелинейных особенностях поведения ДСОЭР-модели, так и сосредоточенные на поведении линейной аппроксимацией. Оказалось, что данная проблема существенна для меньшей части рассмотренных моделей. Однако для нескольких моделей (малого масштаба) данные ошибки оказались велики. Известные универсальные методы борьбы с ней, основанные на специальной балансировке матриц, уменьшают последствия, но не настолько, чтобы считать проблему решенной. Это свидетельствует о необходимости диагностики моделей ДСОЭР на размер ошибки нахождения линейной аппроксимации, что можно сделать при помощи предложенной в данной работе меры.

We investigate the consequences of excessive international debt overhang asthey relate to both debtor and creditor countries. In particular, we assess the impact of monetary policy on financial stability and how it can be used to smooth borrowers, as well as creditors, consumption over the business cycle. Based on [Goodhart, Peiris, Tsomocos, 2018], we establish that an independent countercyclicalmonetary policy, that contracts liquidity whenever debt grows whereas it expands it when default rises, reduces volatilityof consumption.In effect,monetary policy provides an extra degree of freedom to the policymaker. We implement our approach to the Czech and Eurozone area economies during the 1990s.

In our model, we introduce endogenous defaultά la[Shubik, Wilson, 1977], whereby debtors incur a welfare cost in renegotiating their contractual debt obligations that is commensurate to the level of default. However, this cost depends explicitly on the business cycle and it should be countercyclical. Hence, contractionary monetary policy reduces the volume of trade and efficiency, thus increasingdefault. This occurs as the default cost increases the associated default acceleratorchannel engenders higher default rates. On the other hand, lower interest rates increase trade efficiency and, consequently, reduce the amplitude of the business cycle and benefit financial stability.

In sum, the appropriate design of monetary policy complements financial stability policy. The modelling of endogenous default allows us to study the interaction of monetary and macroprudential policy.